An exact solution to a Stefan problem with variable thermal conductivity and a Robin boundary condition

Abstract

In this article it is proved the existence of similarity solutions for a one-phase Stefan problem with temperature-dependent thermal conductivity and a Robin condition at the fixed face. The temperature distribution is obtained through a generalized modified error function which is defined as the solution to a nonlinear ordinary differential problem of second order. It is proved that the latter has a unique nonnegative bounded analytic solution when the parameter on which it depends assumes small positive values. Moreover, it is shown that the generalized modified error function is concave and increasing, and explicit approximations are proposed for it. Relation between the Stefan problem considered in this article with those with either constant thermal conductivity or a temperature boundary condition is also analysed.

En este artículo se demuestra la existencia de soluciones de similitud para un problema de Stefan monofásico con conductividad térmica dependiente de la temperatura y una condición de Robin en la cara fija. La distribución de temperatura se obtiene mediante una función de error modificada generalizada que se define como la solución a un problema diferencial ordinario no lineal de segundo orden. Está demostrado que este último tiene una única solución analítica acotada no negativa cuando el parámetro del que depende asume pequeños valores positivos. Además, se muestra que la función de error modificada generalizada es cóncava y creciente, y se proponen aproximaciones explícitas para ella. También se analiza la relación entre el problema de Stefan considerado en este artículo con aquellos con conductividad térmica constante o una condición límite de temperatura.