Sistemas Termomecánicos Lagrangianos continuos y discretos: un primer enfoque

Abstract

Un problema básico de la Mecánica Clásica es hallar la evolución de cada sistema mecánico. Este problema se traduce, según la formulación variacional lagrangiana, al de hallar los extremos de una funcional (la acción) sobre un espacio de caminos; y en última instancia, al de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, no siempre es posible encontrar soluciones analíticas a esas ecuaciones, por lo que, una posibilidad es recurrir a métodos numéricos que permitan aproximar su solución. En particular, los métodos numéricos empleados en mecánica, son los llamados integradores variacionales, que poseen propiedades buenas , como por ejemplo la conservación de estructuras simplécticas, permitiendo realizar simulaciones a tiempos prolongados. Los sistemas lagrangianos discretos son sistemas dinámicos discretos, cuyas trayectorias son integradores variacionales, que se obtienen mediante un principio variacional. En la vida real, los sistemas físicos tienen propiedades termodinámicas, como la temperatura, la presión, la energía interna, el calor y otras, que no pueden ser modeladas por la Mecánica. Sin embargo, es posible combinar la Mecánica y la Termodinámica para dar lugar a la formulación de los llamados Sistemas Termomecánicos Lagrangianos. Estos sistemas, al igual que los mecánicos, se formulan a partir de un principio variacional inspirado en el modelo lagrangiano. En los sistemas termomecánicos también existe una equivalencia entre el principio variacional y la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, por lo que nuevamente tenemos el mismo inconveniente. Surge entonces la formulación a tiempo discreto de los sistemas termomecánicos, donde se busca aproximar la evolución de estos sistemas por medio de integradores variacionales. En este trabajo introduciremos nociones básicas sobre los sistemas termomecánicos lagrangianos y su versión a tiempo discreto. Al comienzo haremos un repaso sobre sistemas lagrangianos continuos y discretos, dando de niciones y resultados, que luego adaptaremos al formalismo de los sistemas termomecánicos. Seguiremos principalmente el artículo [11] y completaremos algunos resultados importantes que no están probados en dicho artículo. Luego desarrollaremos un método de discretización, para construir un sistema termomec ánico discreto a partir de un sistema termomecánico dado. Finalmente, analizaremos, por medio de ejemplos, algunas limitaciones del formalismo que ellos proponen. Se intentará que el material de este trabajo sea auto-contenido para quienes tengan conocimientos básicos de Geometría y Cálculo, para ello, agregaremos tres apéndices que servirán como apoyo para el lector.